jueves, 21 de noviembre de 2013

regla de l hopital

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \cfrac{0}{0}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \quad \xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \frac{1}{1} = 1$

Aplicación consecutiva

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin(x)}$

$\xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-e^{-x})-2}{1-\cos(x)}$

$\xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{\sin(x)}$

$\xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-e^{-x})}{\cos(x)} = \frac{e^0+e^{-0}}{\cos(0)} = \frac{1+1}{1} = 2$

miércoles, 20 de noviembre de 2013

funcion implicita

Funciones implícitas

En una correspondencia o también una función si está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación la cual tiene de dos incógnitas cuyo segundo miembro es el cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para poder hallar la derivada correcta en forma implícita no es necesario despejar y. Así que basta el derivar miembro a miembro paso por paso, utilizando así todas las reglas vistas hasta ahora en derivadas.es y teniendo presente lo siguiente:

x’=1.

En general y’≠1.

Por lo cual omitiremos x’ y dejaremos y’.

regla de la cadena

la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

regla de los 4 pasos

Regla general para derivar funciones o regla de los cuatro pasos

1-Se incrementa la variable independientemente o función como y+∆y y a alavariable independiente como x+∆x
2-de la función final se le resta la función original.
3_Se divide la función entre ∆x
4-se aplica el límite cuando ∆x→0
0 y el limite asi hallado es la derivada buscada y se utilisa el sigiente simbolo dydx

simbologia de la derivada

Simbolos:

El símbolo f´(x), para las derivadas, fue introducido por Lagrange en 1797 en Théorie des fonctions analytiques.

Newton usó el apóstrofo para representar la derivada de una función. Así, para la función f(x) se representa su derivada como la función f'(x).

Leibniz en cambio usó una delta minúscula de la función (usada a veces como una d latina) siempre haciendo referencia a la variable respecto a la cual se deriva.Así la derivada de y respecto a x es dy/dx

En símbolos, sea y = f(x), entonces la derivada de “y” con respecto a “x” es:
dy
y
y´ = = f´(x) = fx (x) = Lim
dx
!x
x

Los símbolos dx, dy y dx/dy, para las derivadas, fueron introducidos por Leibniz.Los símbolos f´(x), f´´(x), etc. para las derivadas, fueron introducidos por Lagrange en 1797 en Théorie des fonctions analytiques.El símbolo d para la derivada parcial fue usada en 1770 por Antoine-Nicolas Caritat

recta tangente

Sabemos que la recta tangente, como la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las cercanías del punto de tangencia , es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto), lo que hace que la recta tangente y la curva sean prácticamente indistinguibles en las cercanías del punto de tangencia. Gráficamente podemos observar que la curva se pega "suavemente" a la recta en este entorno, de tal manera que "de todas las rectas que pasan por el punto, es esta recta la que más se parece a la curva cerca del punto".

que es una derivada

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

Función derivada

La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x

lunes, 28 de octubre de 2013

teorema relativos a infinitesimos y limites

Infinitésimos

Una sucesión a_n es un infinitésimo si es una sucesión convergente que tiene por límite cero.

lim a_n = 0

Ejemplo:

Las sucesiones:

son infinitésimos porque:

Propiedades de los infinitésimos

1. La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.

2. El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.

3. El producto de infinitésimos es un infinitésimo.

4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

5.Si una sucesión a_n converge a L, la sucesión (a_n − L) es un infinitésimo.

6. Si una sucesión a_n es divergente, su inversa es un infinitésimo.

Teoremas sobre límites

Teorema

Unicidad del límite de una función

Si una función tiene límite es único.

H) Existe lim_x->af(x)=b
T) b es único

Demostración

La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.
Suponemos que b > c.

lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo E_b,ε existe un E^*_a,δ1 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ1 f(x) pertenece al E_b,ε.

lim_x->af(x)=c => (por def. de límite) para todo E_c,ε existe un E^*_a,δ2 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ2 f(x) pertenece al E_c,ε.

Consideremos un ε tal que E_b,ε ∩ E_c,ε = Ø.

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E^*_a,δ se cumple

f(x) pertenece a E_b,ε
f(x) pertenece a E_c,ε

Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.

Definición

Límites laterales

Límite de f(x) en el punto a por la derecha :
lim_x->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) - b| < ε.
Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :
lim_x->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) |f(x) - b| < ε.

Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ).
x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).

A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.

Ejemplo

f(x) =  x² si x <= 2
        -2x + 1 si x > 2

Ilustración geométrica de los límites laterales

lim_x->2-f(x)=4
lim_x->2+f(x)=-3
No existe lim_x->2f(x)

limites infinitesimos

INFINITÉSIMO

Se dice que la función f es un infinitésimo cuando x → a, si se verifica

Es decir, un infinitésimo es una función cuyo límite es cero cuando la variable independiente x se aproxima hacia el valor x = a, o dicho de otra forma, una función cuyos valores se aproximan tanto más al cero cuanto más se aproxima x hacia el valor a.

Por tanto, en el concepto de infinitésimo hay que tener presente no sólo la función f, sino también el punto a. La función f es infinitésimo,en las proximidades del punto a. Suele decirse que es infinitésimo en x=a.

limites infinitos y propiedades

Límite infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites).

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).

lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f g , en el punto x = a, es l m.

lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido) en el punto x = a, es l.

domingo, 13 de octubre de 2013

que es funcion

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

dominio y contadominio

El dominio de una función está ligado a la definición de función.
Una función es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto X uno y sólo un elemento de un conjunto Y.

Al conjunto X se le llama dominio de la función y a sus elementos se les denomina también valores de entrada. La variable "x" es considerada la variable independiente y en el sistema coordenado se suele graficar en el eje horizontal.

El conjunto Y recibe el nombre de Contra dominio o Rango de la función y son los valores de salida. La variable "y" es la variable dependiente (depende de "x") y se grafica en el eje vertical, se le considera el valor de la función. Por eso se pone y = f (x)
Resulta sumamente práctico tener siempre en cuenta la definición de función, los conceptos de valores de entrada y de salida

Que es rango

Rango o recorrido de una función

Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto
de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Rango o recorrido o conjunto imagen

Cálculo del rango o recorrido

Para calcular el rango de una función tenemos
que hallar el dominio de su función inversa.

R = − {2}

tipos de funciones

FUNCIONES POLINOMICAS

FUNCIÓN LINEAL

Es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es la abscisa donde la recta intercepta al eje. La grafica que se origina es una línea recta, si m es positiva la recta se inclina hacia la derecha y si m es negativa la recta se inclina hacia la izquierda.

EJEMPLO:

FUNCIÓN CONSTANTE

Es una función de la forma f(x) = k, donde k es una constante. La grafica que se origina es una línea recta paralela al eje x.

El dominio de la función constante son todos los números reales y el rango es un conjunto unitario formado por el elemento imagen de todos los elementos del dominio.

EJEMPLO:

Ø FUNCIÓN CUADRÁTICA

Es una función de la forma f(x) = ax²+ bx +c, donde a,b,c y son números reales. La grafica de la función cuadrática es una curva llamada parábola; si a es positiva, la grafica abre hacia arriba y si a es negativa la grafica abre hacia abajo.

La ecuación algebraica tiene el 2 como máximo exponente de la variable.

EJEMPLO:

FUNCIÓN POLINOMICA

Una función Polinómica es de la forma f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a donde a_n,a_n-1,…,a son constantes reales y n es numero entero no negativo que indica el grado de p(x), siempre que a_n≠0.

Ejemplo:

Ø
FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La función valor absoluto se define como:

Es de la forma f(x) = IxI, cuyo dominio son los reales y el rango son los reales mayores o iguales a cero. La grafica que se obtiene es una curva en forma de v.

EJEMPLO:

Ø FUNCIÒN RAIZ CUADRADA

Es una función que asigna a un argumento su raíz cuadrada positiva. Es de la forma f(x) = √x , donde el dominio de la función son los valores de x que hacen que el radicando sea positivo y el rango son los reales mayores o iguales a cero. La grafica que se obtiene es una curva ascendente que está por encima del eje x

Ejemplo:

Ø FUNCiÓN RACIONAL

Es una función de la forma f(x) = p(x)/q(x) , donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x)≠0. La función racional no está definida para valores de x en el cual q(x) se hace diferente de cero, este valor al representarlo gráficamente es una asíntota. La grafica que se obtiene son curvas interrumpidas por la asíntota.

Ejemplo:

Ø FUNCIONES TRASCENDENTALES

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Es una función de la forma f(x) = a^x, donde a>o y a≠1 .cuyo dominio son los números reales y el rango son los reales mayores que cero. La grafica que se obtiene es una curva ascendente si a>1 y descendente si o<a<1.

Ejemplos:

Ø FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Es una función inversa a la función exponencial, es de la forma
f(x) = log_ax, donde a>o y a≠1. La grafica que se obtiene es una curva simétrica a la función exponencial.

Ejemplos:

Ø FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Las funciones trigonométricas surgen de estudiar el triangulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos lados cualesquiera dependen del valor de los ángulos del triangulo. Se distinguen seis tipos de funciones trigonométricas, Las cuales cada una de ellas tiene su dominio, rango, periodo y su gráfica es distinta, como son:

Ejemplos:

f(x) = sen x

f(x) = cos x

f(x) = tan x

f(x) = cot x

f(x) = sec x

f(x) = cscx